2. Ťažiská sú v kurz(or)e vzorové riešenie

Ak chceme nájsť ťažisko nejakého komplikovanejšieho útvaru, tak si ho rozdelíme na nejaké jednoduchšie (napr. trojuholník, rovnobežník, …), pri ktorých vieme určiť ťažisko a ťažisko nášho útvaru je váženým priemerom ťažísk jednoduchších útvarov. Platí pritom, že ako váhu ťažiska určíme hmotnosť tohto jednoduchšieho útvaru. Keďže však kurzor je vyrobený z materiálu s rovnomerne rozloženou hustotou a výška kurzora je všade rovnaká, môžeme hmotnosť zameniť za obsah. Inými slovami, pre každý z jednoduchších útvarov súradnice jeho ťažiska vynásobíme jeho obsahom, tieto súčiny sčítame a výsledok vydelíme obsahom výsledného útvaru. Túto myšlienku si treba zapamätať, pretože sa pri úlohách s ťažiskom častokrát využíva a aj my ju ešte viackrát využijeme pri riešení.

Ťažisko pôvodného kurzora

Všimnime si, že kurzor sa pred kolíziou skladal z trojuholníka a rovnobežníka. Ťažisko trojuholníka sa nachádza v tretine výšky trojuholníka, takže súradnice ťažiska trojuholníka sú \(T_{\triangle}=\left[a,\frac{10}3a\right]\). Jeho obsah je \(S_{\triangle}=\frac{3a\cdot4a}{2}=6a^2\). Ťažisko rovnobežníka sa nachádza v priesečníku uhlopriečok, preto sú súradnice ťažiska rovnobežníka \(T_{\lozenge}=\left[2a,a\right]\). Jeho obsah vypočítame ako \(S_{\lozenge}=a\cdot2a=2a^2\). Z týchto informácii vieme súradnice ťažiska kurzora \(T_{\mathrm{kurzor}}\) vypočítať ako: \[ \begin{aligned} x(T_{\mathrm{kurzor}})&=\frac{x(T_{\triangle})S_{\triangle}+x(T_{\lozenge})S_{\lozenge}}{S_{\triangle}+S_{\lozenge}}= \frac{a\cdot6a^2+2a\cdot2a^2}{6a^2+2a^2}=\frac{10a^3}{8a^2}=\frac54a\text,\\ y(T_{\mathrm{kurzor}})&=\frac{y(T_{\triangle})S_{\triangle}+y(T_{\lozenge})S_{\lozenge}}{S_{\triangle}+S_{\lozenge}}= \frac{\frac{10}3a\cdot6a^2+a\cdot2a^2}{6a^2+2a^2}=\frac{22a^3}{8a^2}=\frac{11}4a\text. \end{aligned} \] Ťažisko kurzora pred kolíziou je preto v bode \(T_{\mathrm{kurzor}}=\left[\frac54a,\frac{11}4a\right]\).

Ťažisko kurzora po kolízii

Z kurzora sa nám ulomil hrot v tvare trojuholníka (zobrazený na obrázku 2 ), ktorý má ťažisko opäť v tretine svojej výšky, čiže \(T_{\mathrm{úlomok}}=\left[\frac12a,\frac{14}3a\right]\). Jeho obsah je \(S_{\mathrm{úlomok}}=\frac{\frac32a\cdot2a}2=\frac32a^2\). Ako však z týchto informácii vypočítame celkové ťažisko? Ak máme výsledné ťažisko a ťažisko hrotu, tak ich váženým aritmetickým priemerom je ťažisko pôvodného kurzora. Ak by sme si zapísali rovnice a vyjadrili z nich výsledné ťažisko, tak si všimneme, že sa to opäť podobá na vážený aritmetický priemer, ale pred údajmi hrotu je znamienko mínus. Tento trik si vieme predstaviť aj tak, že si zoberieme pôvodný kurzor a potom hrot so zápornou hmotnosťou. Ich zlúčením dostaneme práve výsledný útvar, a teda ťažisko vieme vypočítať naozaj ako vážený priemer so znamienkom mínus. Teraz už súradnice ťažiska \(T\) kurzora bez hrotu vieme vypočítať ako: \[ \begin{aligned} x(T)&=\frac{x(T_{\mathrm{kurzor}})(S_{\triangle}+S_{\lozenge})- x(T_{\mathrm{úlomok}})S_{\mathrm{úlomok}}}{S_{\triangle}+S_{\lozenge}-S_{\mathrm{úlomok}}}=\frac{\frac54a\cdot8a^2- \frac12a\cdot\frac32a^2}{6a^2+2a^2-\frac32a^2}=\frac{\frac{40a^3-3a^3}4}{\frac{13a^2}2}=\frac{37}{26}a\text,\\ y(T)&=\frac{y(T_{\mathrm{kurzor}})(S_{\triangle}+S_{\lozenge})- y(T_{\mathrm{úlomok}})S_{\mathrm{úlomok}}}{S_{\triangle}+S_{\lozenge}-S_{\mathrm{úlomok}}}=\frac{\frac{11}4a\cdot8a^2- \frac{14}3a\cdot\frac32a}{6a^2+2a^2-\frac32a^2}=\frac{22a^3-7a^3}{\frac{13a^2}2}=\frac{30}{13}a\text. \end{aligned} \] Ťažisko kurzora po kolízii je teda na súradniciach \(T=\left[\frac{37}{26}a,\frac{30}{13}a\right]\). Keď si tento bod zakreslíme do obrázka, vidíme, že ťažisko zostalo v trojuholníkovej časti kurzora.